Matura z matematyki - sprawdź odpowiedzi

Boicie się wyników dzisiejszej matury z matmy? Sprawdźcie odpowiedzi z nami!

Poniższe odpowiedzi nie są oficjalnymi udzielonymi przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Są to rozwiązania przykładowe opracowane przez redakcję dlaStudenta.pl!

POZIOM PODSTAWOWY (rozwiązania z poziomu rozszerzonego poniżej)

1. Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π .

C. |x + 2/3| ≤4

2. Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189 zł. Rower kosztuje

B. 2100 zł.

3. Wyrażenie 5a²− 10ab + 15a jest równe iloczynowi

B. 5a(a − 2b + 3)

4. Układ równań {4 x + 2 y = 10 i 6 x + ay = 15 ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

D. a = 3

5. Rozwiązanie równania x( x + 3) − 49 = x( x − 4 ) należy do przedziału

D. (2,+∞)

6. Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności 3/8 + x/6 < 5x/12 jest

B. 2

7. Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: 3 ( x − 1)( x − 5 ) ≤ 0 i x > 1 .

C

8. Wyrażenie log4 (2 x − 1) jest określone dla wszystkich liczb x spełniających warunek

B. x > 1/2

9. Dane są funkcje liniowe f ( x) = x − 2 oraz g ( x) = x + 4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x . Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) .

A

10. Funkcja liniowa określona jest wzorem f ( x) = −√2 x + 4 . Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

D. 2√2

11. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) , w którym a₃ = 1 i a₄ = 2/3. Wtedy

D. a₁=9/4

12. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (a_n) o wyrazach dodatnich. Wtedy

C. a₂ + a₉ = a₃ + a₈

13. Kąt α jest ostry i cos α = 5/13. Wtedy

A. sin α = 12/13 oraz tgα = 12/5

14. Wartość wyrażenia sin² 38° + cos² 38° − 1 / sin² 52° + cos² 52° + 1 jest równa

B. 0

15. W prostopadłościanie ABCDEFGH mamy: |AB| = 5 , |AD| = 4 , |AE| = 3 . Który z odcinków AB, BG, GE, EB jest najdłuższy?

C. GE

16. Punkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany α ma miarę

B. 100° (kąt wklęsły ma 200° i to właśnie od niego kąt wpisany powinien być dwa razy mniejszy)

17. Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60° jest równa

A. 3√3

18. Prosta k ma równanie y = 2 x − 3 . Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych ( −2, 1) .

C. y = 2x + 5

19. Styczną do okręgu ( x − 1)² + y² − 4 = 0 jest prosta o równaniu

B. x=3

20. Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

D. 3√3

21. Objętość stożka o wysokości 8 i średnicy podstawy 12 jest równa

B. 96π

22. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

D. 1/18

23. Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli. Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

D. 7

24. Rozwiąż nierówność 3 x² − 10 x + 3 ≤ 0

x € < 1/3 ; 3 >

25. Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a² + b² = 7 , to a⁴ + b⁴ = 31 .

a⁴ + b⁴  = (a² + b²)² - 2 a² b²= 7² - 2 (-3)² = 49 - 18 =31

26. Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) zbiór wartości funkcji f,
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja f jest malejąca.

a) ZWf = <-2 ; 3>

b) funkcja malejaca dla x € <-2 ; 2>

27. Liczby x, y, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x + y = 8 . Oblicz x i y.

x = -1 i y = 9 

28. Kąt α jest ostry i sin α / cos α + cos α / sin α = 2. Oblicz wartość wyrażenia sin α ⋅ cos α .

sin α ⋅ cos α = 1/2

29. Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB || CD . Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC| = |CD| i |EB| = |BA| . Wykaż, że kąt AED jest prosty.

|AED| = 180°- |DEC| + |AEB| = 180° - (180° - α / 2) + (180° - ß / 2) = 180° - (90° - 1/2 α + 90° - 1/2 ß) = 1/2 x 180° = 90°

30. Ze zbioru liczb {1, 2, 3,..., 7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

P (A) = 16/49

31. Okrąg o środku w punkcie S = (3,7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2 x − 3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

x = 4 3/5, y = 6 1/5 

32. Pewien turysta pokonał trasę 112 km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o 3 dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o 12 km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

28 km

33. Punkty K, L i M są środkami krawędzi BC, GH i AE sześcianu ABCDEFGH o krawędzi długości 1 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLM.

P = 3√3/8 j²

POZIOM ROZSZERZONY

1. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k⁶ − 2k⁴  + k² jest podzielna przez 36. 

k⁶ − 2k⁴  + k² = k²(k⁴  - 2k² + 1) =  k²(k² - 1)² = k²[(k - 1)(k + 1)]² = [(k - 1)k(k + 1)]²

Wynik jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, który jest zawsze podzielny przez 2 i przez 3, a jeżeli tak to również przez 6. Wyrażenie podzielne przez 6 i podniesione do kwadratu jest z kolei podzielne przez 36.

2. Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2c , to a / a-c + b / b-c = 2.

L = [a(b-c) + b(a-c)] / [(a-c)(b-c)] = (ab-ac+ba-bc) / [(a-c)(b-c)] = [2ab - c(a+b)] / [(a-c)(b-c)] = [2ab-c(2c)] / [ab-ac-cb-c^2] = 2 [ab-c^2] / [ab - c(a+b) + c^2] = 2[ab-c^2] / [ab - c(2c) + c^2] = 2[ab-c^2] / [ab-c^2] = 2 = P

3. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie x² − 4mx − m³ + 6m² + m − 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x₁, x₂ takie, że (x₁ - x2)² < 8(m + 1).

m € (0,1) U (2,3)

4. Rozwiąż równanie 2sin²  x − 2sin² x cos x = 1− cos x w przedziale <0, 2π>.

(1 - cos x)(1 - 2cos²x) = 0

x € {0, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 2π}

5. O ciągu (x_n) dla n ≥1 wiadomo, że:

a) ciąg _( an) określony wzorem 3^xn dla n ≥1 jest geometryczny o ilorazie q = 27 .

b) x_{1 +} x_{2 + ... +} x_{10 = 145.}

Oblicz x₁

x_{1 = 1}

6. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz |BAC| = 30° . Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.

|AD| = 4/3√21

7. Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x² + ^y2 + 2x − 2y − 3 = 0 poprowadzonymi przez punkt A = (2,0) .

S = (-1; 1), r=√5, |SA| = √10

sin α = √2/2

α = 90°

8. Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Pb = 6a(4 - 2a) = 24a - 12a² = max

b = 1

9. Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.

C2/8 x C3/6 x 7³ = 8!/2! x 6! x 6!/3! x 3! x 7³= 10 x 56 x 7³ = 192080

10. Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD. Uzasadnij, że MQ || PN .

HQ łączy środek boków AB, DB = MQ || DA, NP łączy środek boków DC i AC = NP || DA, stąd MQ || NP

11. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy |AC| : |AS| = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

sin α = 2/3a√2 / a/6√41 = 4√82/41

12. A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykaż, że jeżeli P( A) = 0,9 i P(B) = 0,7 , to P(A ∩ B') ≤ 0,3 ( B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

P (A ∩ B') ≤ 0,9 ^ P (A ∩ B') ≤ 0,3 => P (A ∩ B') ≤ 0,3